Rozważamy hiperprzestrzeń K(C) złożoną ze zwartych podzbiorów
przestrzeni C. W K(C) wprowadzamy topologię Vietorisa (jest to topologia
zadawana np. przez metrykę Hausdorffa).

Wiadomo, że przestrzeń K(C) jest homeomorficzna z C. Wynika stąd, że w
K(C) można wprowadzić niejedną ładną miarę borelowską. Pytanie, czy da
się to zrobić w naturalny sposób tak, by definicja korzystała jakoś ze
struktury hiperprzestrzeni, a nie była sztucznie przenoszona z C? Ja
jeszcze (z pewnych przyczyn) chciałbym zobaczyć taką miarę
skoncentrowaną na zbiorze doskonałych podzbiorów C.

Analogiczne pytanie można sformułować dla struktury grupowej.

Oczywiście wszystko rozbija się o wskazanie jakiegoś ładnego,
kanonicznego homeomorfizmu między C a K(C). Ja takiego nie znam,
homeomorfizmy z charakteryzacji Brouwera przestrzeni C nie wydają się tu
być na miejscu.

Pozdrawiam
Marcin

      C = ({0}xC) \cup ({1}xC))

W zwiazku z tym:

  K(C)  =

        K({0}xC) \cup K({1}xC) \cup ((K({0}xC) x K({1}xC))

    =   K_0 \cup K_1 \cup (K(C))^2

Podsumuje:

    **********************************
    K(C) =  K_0 \cup K_1 \cup (K(C))^2
    **********************************

Dziekuje, ciekawe, pozdrawiam,

K(C) = K(C)^2

(bo zbiór F utożsamiamy z <F\cap({0}xC), F\cap({1}xC) >. Ale z tego
widzę tylko eleganckie utożsamienie K(C) z K(C)^n, czy K(C)^\omega.
Wiele przestrzeni ma tę własność...

Może jeszcze napiszę, jaka jest motywacja:

Fakt 1. (folklor, ale też dobre ćwiczenie):
Niech G będzie zbiorem rezidualnym w C. Wtedy zbiór
{P\in Perf : P\subset G} jest rezidualny w K(C).

Innymi słowy, jeżeli ustalimy duży (w sensie kategorii) zbiór G w C, to
prawie każdy
(w sensie kategorii w K(C)) zbiór doskonały jest w nim zawarty.

Pytanie co będzie, jeżeli zamienimy ideał kategorii na ideał miary. Otóż
będzie zupełnie inaczej. Mianowicie zbiór zbiorów doskonałych zawartych
w dowolnym zbiorze miary pełnej w C nie może być miary pełnej dla żadnej
ładnej miary na K(C).

Fakt 2. (M.K.)
Niech \lambda oznacza miarę produktową w C. Nie istnieje borelowska,
probabilistyczna miara \mu w K(C) znikająca na punktach taka, że dla
dowolnego zbioru H takiego, że \lambda(H)=1, zbiór

{P\in Perf : P\subset H}

jest miary \mu pełnej.

To mamy twierdzenie, że żadna "ładna" miara na K(C) nie ma pewnej
własności. Ładnych miar na K(C) istnieje cała masa. Ale czy ktokolwiek
widział choć jedną?

Pozdrawiam
Marcin

    K(X)    =    K'(X)^2  \  {({} {})}

Pozdrawiam,

    Wlodek

Jaka w zasadzie była "myśl przewodnia" równości, którą wypisałeś?

a) K(C) jest podobne do K(C)^2 (tak w pierwszej chwili myślałem),
b) K(C) jest sumą trzech kopii K(C)?

Pozdrawiam
Marcin

Myslalem o przypisaniu (planowanej dopiero) miary tym
trzem czesciom. Oczywiscie dwie z nich mialyby te sama
miare. Poza tym ten detal zostawilem na potem, zeby to
uczynic albo elegancko (na ile mozliwe), albo dowolnie
(miec miary  m_t dla  0 < t < 1). Nastepnie myslalem
o iterowaniu konstrukcji. W ten sposob zdrabnialbym podzial,
az doszedl bym do miary. Pierwszy podzial byl na 3 czesci.
nastepny na  3 + 3 + 3x3 = 15,  itd.  Tak mi to mignelo.

Widac, ze  K(C)  (bez zbioru pustego!) lepiej interpretowac
jako swojego rodzaju przestrzen rzutowa, a nie kub czyli
przestrzen affiniczna.  Nie nalezy wiec spodziewac sie
kanonicznej odpowiedniosci pomiedzy  C  (kub!), a  K(C).

Napoczeta przeze mnie probe konstrukcji miary mozna jednak
ujac prosciej, wprost, patrzac na wspolrzedne, bez mowienia
o homeomorfizmach, ktore uzywalem. Chyba jeszcze o tym pomysle.

Pozdrawiam,

Robiąc takie podziały myślimy pewnie, że będziemy definiować miarę
zadając miarę na poszczególnych zbiorach z tego podziału. Pytanie tylko
na jakim sigma-ciele określimy tę miarę. Jeżeli nie zadbamy o to, żeby
zbiory z podziału tworzyły bazę topologii K(C), to nie jest chyba jasne
czy zdefiniujemy miarę borelowską (bądź czy da się ją rozszerzyć).

Pozdrawiam
Marcin

Kwantyfikatory:

 _A_ -- dla kazdego

 _E_ -- istnieje

********************

Marcin Kysiak:

Niech  (X d)  bedzie przestrzenia metryczna, zwarta.
Niech  (P_n : n \in N)  bedzie ciagiem skonczonych pokryc
otwartych, o mesh --> 0 dla n --> oo (mesh? Chodzi mi o

        mesh_n := max(diam(G : G \in P_N)

czyli maksimum srednicy elementu pokrycia; zakladam
 mesh_n --> 0).  Wtedy dla kazdego  n  i kazdego  P
zawartego w  P_n dostajemy podzbior otwarty  G_P
przestrzeni  K(X d), zdefiniowany nastepujaco:

 ----------------------------------- ---

  G_P :=

   {F \in K(X) : F \subset Unia(P)

       & _A_(G \in P) G \cap F =/= {} }

 ----------------------------------- ---

    B_n := {G_P : P \subset P_n}

    B := Unia(B_n : n \in N}

 ----------------------------------- ---

Oczywiscie, zgodnie z definicja topologii Vietorisa
czy metryki Hausdorffa,  B  jest baza topologiczna
w przestrzeni  K(X d).

*********************************** *******************

Rozpatrzmy  przypadek  X := C := {0 1}^N,  z topologia
produktu tichonowskiego.

Niech

    P_n  :=  { pr_n^(-1)(x) : x \in {0 1}^n }

gdzie

          pr_n : C --> {0 1}^{1 ... n}

jest rzutem kanonicznym.  jak w przypadku ogolnym,
dostajemy baze topologuiczna  B  przestrzeni  K(C),
tym razem zlozona ze zbiorow domknieto-otwartych.
Mamy przy tym, jak przedtem,  B := Unia(B_n : n \in N),
ale dodatkowo wiemy, ze kazde  B_n  ma  2^2^n  elementow.
Kazdemu z nich przypisujemy miare  1/2^2^n.  Otrzymujemy
stad indukowane sigma-cialo z sigma-miara, ktora mnie sie
podoba, ale beda sie o nia troszczyl ewentualnie po tym
jak troche pospie, bo znowu jest 6:22 am :-)

Pozdrawiam,

    Wlodek

Przepraszam za niepotrzebne spapranie zakonczenia
poprzedniego postu. Pozdrawiam,