Marcin M. pisze:
> Witam!
> Mam do napisania referat o najbardziej prawdopodobnej liczbie sukcesów
> w schemacie Bernoulliego. Chce go napisać porządnie a więc i muszę
> dogłębnie zrozumieć problem i jego rozwiązanie. Niestety przeglądane
> przeze mnie dowody jakoś do mnie nie przemawiają.
> Czy ktoś wie gdzie można znaleźć dobrze opisane dowody tego
> twierdzenia? Ew czy ktoś z Was znalazł by czas żeby jakiś tutaj
> zrozumiale opisać? Z góry dziękuję za pomoc.
Schemat Bernoulliego:
Masz monetę. Może być nieuczciwa.
Rzucasz ją n razy. Rzuty są niezależne.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła to p, a reszki to q.
Sukces to wyrzucenie orła.
Interesujesz się prawdopoobieństwem uzyskania k sukcesów w tych n rzutach.
Weźmy dowolne k t.że 0<=k<=n
Pytanie 1
Na ile sposobów możesz uzyskać k sukcesów w n rzutach?
Otóż wystarczy wybrać wśrów n rzutów te które odniosą sukces.
Czyli ilość kombinacji (n po k).
Następnie obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania takiej
pojedyńczej kombinacji:
rzuty są niezależne, więc możesz mnożyć prawdopodobieństwa:
czyli dostajesz p^k*q^(n-k) dla każdego możliwego ustawienia ze względu
na przemienność mnożenia.
Czyli musisz zsumować prawdopodobieństwa, czyli pomnożyć pojedyńcze
prawdopodobieństwo przez ilość ciągów wygrywających.
Teraz zastanów się jaka jest najbardziej prawdopodobna ilość sukcesów.
Rozważmy różnicę B(k+1,n,p)-B(k,n,p):
C(n,k+1)p^(k+1)(1-p)^(n-k-1)-C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
Po przekształceniach otrzymujemy:
C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)((p(n+1)-1-k)/(q(k+1)p(n-k)))
| patrz tu |
Jak widać znak tej różnicy zależy tylko od dzielnej wskazanej przez
"patrz tu", czyli p(n+1)-1-k
Oznaczmy k'=p(n+1)-1
Jeżeli k' jest całkowite, to B(k'+1,n,p) i B(k',n,p) mają tą samą
wartość (ich różnica jest równa 0). Wynika z tego, że są to dwie
wartości maksymalne B(k,n,p) dla 0<=k<=n
Jeżeli k' nie jest całkowite, to wiemy, że k1=[k'] i k2=[k']+1 są
potencjalnymi argumentami wartości maksymalnej. ([x] oznacza część
całkowitą x). Należy sprawdzić która z nich nią jest.
|
